O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades a saber:
Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros.
Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Também conhecido como "juros sobre juros".
Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros compostos, com um exemplo:
Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a. Teremos:

Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, e portanto tem um crescimento muito mais "rápido".
Isto poderia ser ilustrado graficamente da seguinte forma:

Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos.

Fórmula para o cálculo de Juros compostos

Considere o capital inicial (principal P) $1000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos ( i ) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês:

Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1)
Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)²
Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)³

Após o nº (enésimo) mês, sendo S o montante, teremos evidentemente:

S = 1000(1 + 0,1)ª

De uma forma genérica, teremos para um principal P, aplicado a uma taxa de juros compostos i durante o período a:
S = P (1 + i)ª

onde S = montante, P = principal, i = taxa de juros e a = número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado.

NOTA: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período ( a ), tem de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês durante 3x12=36 meses.

Exercícios Resolvidos:

1 – Expresse o número de períodos n de uma aplicação, em função do montante S e da taxa de aplicação i por período.

Solução:
Temos S = P(1+i)ª
Logo, S/P = (1+i)ª
Pelo que já conhecemos de logaritmos, poderemos escrever:
a = log (1+ i ) (S/P) . Portanto, usando logaritmo decimal (base 10), vem:

Temos também da expressão acima que:

a.log(1 + i) = logS – logP

Deste exemplo, dá para perceber que o estudo dos juros compostos é uma aplicação prática do estudo dos logaritmos.